5.3.2.2 鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的軸系固有頻率
共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)裝置示意圖如圖5-6所示，其相應(yīng)的軸系力學(xué)模型如圖5-7所示，模型中自由端載荷P=G/2，G為聯(lián)軸器的重量。
在靜態(tài)下，由P所產(chǎn)生的靜撓度為
y0=-[Pa2(l+a)]/(3EI) （5-32）
即
p=3EIy0/[a2(l+a)]=ky0 （5-33）
式中，E為軸材料的彈性模量，I為軸的軸慣性矩，對(duì)于圓軸I=πD4/64，D為圓軸直徑；k為軸的靜剛度系數(shù)。
在動(dòng)態(tài)情況下，設(shè)軸以轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為ω=nπ/30。由于漸開(kāi)線內(nèi)齒輪和鼓形外齒輪間有徑向位移△y，因此，質(zhì)心C和轉(zhuǎn)動(dòng)中心不重合，軸系在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中則產(chǎn)生離心力F，由此將發(fā)生動(dòng)撓度yd，其位移簡(jiǎn)圖如圖5-8所示。
軸系在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的離心力大小為
F=mRω2=m(△y+yd)ω2 （5-34）
式中，m=P/g。
因?yàn)檩S在其材料彈性范圍內(nèi)工作，所以有
F=kyd=m(△y+yd)ω2 （5-35）
即
yd=mω2△y/(k-mω2)=△y/(k/mω2-1) （5-35a）
由式（5-35a）可知，令k/（mω2）-1=0，得到軸系的固有頻率為
ω0=(k/m)1/2=(g/y0)1/2 （5-36）
5.3.2.3 計(jì)算實(shí)例
一共軛鼓形齒聯(lián)軸器臺(tái)架試驗(yàn)裝置，漸開(kāi)線內(nèi)齒輪和鼓形外齒輪間徑向位移△y=0.7mm，聯(lián)軸器的重量G=150N，兩支座間的軸間距離l=1500mm，聯(lián)軸器到支座間的距離a=150mm，軸的當(dāng)量直徑D=50mm，確定該聯(lián)軸器軸系固有頻率ω0及臨界轉(zhuǎn)速n0。
（1）軸系的固有頻率 根據(jù)式（5-36）及已知數(shù)據(jù)，可得
ω0=261rad/s
（2）臨界轉(zhuǎn)速
n0=60ω0/2π=2494r/min
通過(guò)對(duì)共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)系統(tǒng)的輪系和軸系分別進(jìn)行定性和定量分析，對(duì)其在傳動(dòng)過(guò)程中的振動(dòng)機(jī)理和系統(tǒng)的固有頻率有了更深的了解，并提出共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的振動(dòng)誘因主要來(lái)源于軸系的觀點(diǎn)。事實(shí)上，鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理與固有頻率受輪系與軸系的共同影響，但由于輪系剛度比軸系的彎曲剛度大得多，故輪系的固有頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出軸系的固有頻率，所以鼓形齒聯(lián)軸器在重載低速下工作時(shí)將遠(yuǎn)離輪系固有頻率，因此，輪系的固有頻率對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的性能和設(shè)計(jì)不會(huì)造成直接影響，而軸系的固有頻率則是傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、減振與防御共振的主要依據(jù)。
對(duì)共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)裝置，應(yīng)避免在其軸系固有頻率附近工作，否則，將發(fā)生共振，從而，致使傳動(dòng)系統(tǒng)噪音極劇增加，振幅迅速加大，若不采取措施，最終會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)破壞。
共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)減振與共振防御的措施較多，常用的方法是改變齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，如改變傳動(dòng)系統(tǒng)輪系轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，改變傳動(dòng)系統(tǒng)軸系的剛度，此外，也可以在傳動(dòng)系統(tǒng)中采用被動(dòng)的隔振、消振和降振措施�？傊�，共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的振動(dòng)問(wèn)題研究是一項(xiàng)具有理論和實(shí)際價(jià)值的工作，它的深入研究不僅有利于這種新型傳動(dòng)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)加工、制造技術(shù)和安裝使用都將起到重要指導(dǎo)作用。
5.3.3 鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的強(qiáng)度分析
5.3.3.1 接觸強(qiáng)度分析
在研究齒輪傳動(dòng)的接觸應(yīng)力和形變時(shí)，到目前為止，傳統(tǒng)的方法就是利用線接觸的平行圓柱體代替某一具體嚙合位置的實(shí)際齒面，把該嚙合位置的齒廓曲率半徑當(dāng)做圓柱體的半徑。這種替換近似計(jì)算方法雖然有許多與實(shí)際情況不符之處，但迄今為止，在齒輪傳動(dòng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)中仍采用這一方法計(jì)算接觸問(wèn)題，即所謂赫茲公式。赫茲公式的應(yīng)用主要受到以下條件的限制：
（1）兩物體為均勻各向同性的彈性體；
（2）兩物體接觸面與物體表面相比是極微小的；
（3）作用力與接觸面垂直；
（4）加載后材料中的應(yīng)力不超過(guò)其比例極限；
（5）圓柱體為無(wú)限長(zhǎng)。
這些限制條件對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)是基本適用的，然而，對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)則存在較大差異，即使是共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的線接觸問(wèn)題，傳動(dòng)的不同軸性等因素，使得該傳動(dòng)的接觸狀態(tài)與直齒圓柱齒輪傳動(dòng)相差甚遠(yuǎn)。因此，鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的接觸強(qiáng)度問(wèn)題不能簡(jiǎn)單套用赫茲公式。通常采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算[93-102]，比較常用的數(shù)值計(jì)算方法是有限元法和邊界元法。
（1）接觸問(wèn)題有限元法
對(duì)于共軛鼓形齒輪傳動(dòng)的接觸問(wèn)題，除了應(yīng)滿足彈性力學(xué)的一般控制方程外，在接觸面上還應(yīng)滿足接觸面力和接觸面位移邊界條件，即滿足力學(xué)平衡條件，法線方向上滿足位移非嵌入條件，且不計(jì)摩擦。在接觸有限元法的求解計(jì)算中，為了準(zhǔn)確描述接觸面各接觸點(diǎn)對(duì)的狀態(tài)，將其接觸狀態(tài)分別定義為連續(xù)狀態(tài)、滑動(dòng)狀態(tài)和分離狀態(tài)，這樣可以定出不同狀態(tài)下的邊界條件關(guān)系式。將接觸點(diǎn)對(duì)不同接觸狀態(tài)下的邊界條件關(guān)系式用適當(dāng)?shù)南禂?shù)矩陣表示，接觸有限元矩陣形式的方程為
式中，
K、U、P、R——?jiǎng)偠染仃嚒⑽灰葡蛄�、載荷和接觸面力向量；
角標(biāo)Ⅰ、Ⅱ——相應(yīng)兩個(gè)接觸的相互共軛的鼓形外齒輪和直齒內(nèi)齒輪；
角標(biāo)C——對(duì)應(yīng)的接觸區(qū)域；
CⅠ、CⅡ——相應(yīng)齒輪的接觸點(diǎn)對(duì)位移協(xié)調(diào)條件的系數(shù)矩陣；
角標(biāo)T——對(duì)應(yīng)的非接觸區(qū)域；
ε0——位移常數(shù)矩陣；
DⅠ、DⅡ、D——接觸點(diǎn)對(duì)力學(xué)平衡條件的系數(shù)矩陣。
若用三角分解算法進(jìn)行分解消元運(yùn)算，使與接觸面有關(guān)的剛度矩陣變換成為單位矩陣，同時(shí)求出相應(yīng)的系數(shù)矩陣的改變DⅠ、DⅡ和載荷向量的改變PⅠ′、PⅠC、PⅡ′、PⅡC，則矩陣方程成為
式中，Ⅱ?yàn)閱挝痪仃嚒?/p>
由此可求出如下接觸面柔度方程
F{Rl}=-{SP}-{ε0} （5-39）
式中，F(xiàn)——接觸面柔度矩陣；
SP——載荷的接觸點(diǎn)對(duì)上產(chǎn)生的相對(duì)位移向量。
把接觸有限元?jiǎng)偠确匠棠s為僅與接觸面力有關(guān)的柔度方程，使得接觸問(wèn)題的迭代運(yùn)算規(guī)模大大降低，且求解效率提高，能較方便地對(duì)共軛鼓形齒輪傳動(dòng)這類三維復(fù)雜嚙合傳動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析。
（2）接觸問(wèn)題邊界元法
接觸邊界元是將接觸域內(nèi)任意點(diǎn)的位移與應(yīng)力值用邊界值即邊界單元的面力與位移來(lái)表示。其邊界元法的基本方程為
Uli=∫ΓPkUiK*dΓ+∫∫ΩbkUlK*Plk*dΓ （5-40）
式中，Uli——在i點(diǎn)第l個(gè)方向上的位移；
UlK*、PlK*——基本解。
將（5-40）式離散并用矩陣表示，則可得共軛鼓形齒輪傳動(dòng)的接觸邊界元方程
HU=GT （5-41）
式中，H、G——3n×3n階的系數(shù)矩陣；
U、T——邊界節(jié)點(diǎn)的位移分量和接觸面力分量。
將（5-41）式中的未知量移到等式左邊，以x表示，將已知量移到等號(hào)右邊，以F表示，系數(shù)矩陣以A表示，則可得顯式形式的方程
Ax=F （5-42）
用高斯消去法求解線性方程組（5-42），便可求得所有邊界未知位移分量U和接觸面力分量T。
（3）接觸有限元與邊界元計(jì)算模型
對(duì)共軛鼓形齒輪的有限元網(wǎng)格劃分，采用平行加密法劃分，形成接觸分析粗網(wǎng)格，然后對(duì)接觸區(qū)作局部細(xì)分，求出接觸點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)。
對(duì)共軛鼓形齒輪用邊界元法進(jìn)行接觸問(wèn)題的研究與分析時(shí)，首先只需對(duì)邊界即齒廓表面進(jìn)行單元?jiǎng)澐�，然后�?duì)每個(gè)嚙合點(diǎn)即接觸區(qū)進(jìn)行局部細(xì)分，不需像有限元法那樣，需從表到里將整個(gè)齒輪輪齒進(jìn)行劃分。
（4）計(jì)算實(shí)例
基于上述接觸問(wèn)題的有限元與邊界元計(jì)算模型和前面的載荷分析，對(duì)一模數(shù)m=5mm、齒數(shù)Z=40、分度圓壓力角a=20°、分度圓直徑d=200mm、齒寬b=20mm、齒輪材料的彈性常數(shù)E=2.1×105N/mm2、泊松比μ=0.3、傳遞扭矩Mn=300N·m的共軛鼓形齒聯(lián)軸器鼓形齒輪Ⅰ進(jìn)行了接觸應(yīng)力計(jì)算，其簡(jiǎn)圖如圖5-9所示。該問(wèn)題接觸應(yīng)力的有限元與邊界元數(shù)值解和接觸應(yīng)力分布曲線分別如表5-1、圖5-10所示。曲線①（虛線）為接觸應(yīng)力的有限元解；曲線②（實(shí)線）為接觸應(yīng)力的邊界元解。
表5-1 接觸應(yīng)力的有限元邊界元數(shù)值解
| 齒高/mm |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
| 有限元解/(N/mm2) |
-1150 |
-970 |
-840 |
-650 |
-500 |
-320 |
| 邊界元解/(N/mm2) |
-1000 |
-925 |
-800 |
-650 |
-520 |
-370 |
由表5-1與圖5-10可得如下結(jié)論：
（1）接觸應(yīng)力的兩種數(shù)值解相當(dāng)接近，只是在開(kāi)始進(jìn)入嚙合和脫離嚙合時(shí)有些差異。這主要是算法和計(jì)算模型差異所致，但接觸應(yīng)力的變化趨勢(shì)是一致的，且齒高中部附近接觸應(yīng)力的兩種解答完全一致。
（2）由于兩種解答的一致性，在研究輪齒齒廓接觸應(yīng)力時(shí)，易選用邊界元法，這樣，可減少前處理工作量，提高計(jì)算效率。
（3）輪齒在嚙合傳動(dòng)接觸過(guò)程中，齒根處接觸應(yīng)力與彎曲應(yīng)力同時(shí)達(dá)到最大值。其原因主要是齒根部的剛度大于齒頂部，齒頂部的變形以彈性彎曲變形為主，齒根部則以接觸變形為主。
5.3.3.2 彎曲強(qiáng)度分析
鼓形齒聯(lián)軸器在傳遞載荷的過(guò)程中，其傳動(dòng)齒輪的輪齒處于懸臂受彎工作狀態(tài)。為了保證聯(lián)軸器傳動(dòng)齒輪在工作時(shí)不致發(fā)生斷齒現(xiàn)象，齒根的最大危險(xiǎn)應(yīng)力必須低于極限值，為此，必須對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算。通常在一般齒輪彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算中采用簡(jiǎn)單平載面計(jì)算法和折載面計(jì)算法，這兩種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，易于操作，能基本滿足設(shè)計(jì)要求；其不足就是這兩種方法都是把輪齒簡(jiǎn)化為一個(gè)懸臂梁的力學(xué)模型，應(yīng)用材料力學(xué)的理論來(lái)求解，顯然，這里存在誤差。因?yàn)椴牧狭W(xué)關(guān)于梁的理論，只適用于載荷作用點(diǎn)與支點(diǎn)的距離比梁的橫載面高度大得多的梁，亦即所謂淺梁的情況。但此處的輪齒受載力學(xué)模型則不滿足這種條件，它實(shí)際上是一個(gè)短而寬的懸臂梁，應(yīng)屬于深梁的范圍[103-110]。深梁的彎曲問(wèn)題材料力學(xué)已無(wú)能為力，須用彈性力學(xué)理論求得解析解，例如可用復(fù)變函數(shù)解法，通過(guò)求解半無(wú)限大板邊界有齒形突起的模型錄求應(yīng)力解。但這種方法在工程設(shè)計(jì)中往往不夠現(xiàn)實(shí)，所以又出現(xiàn)了一種短寬懸臂梁的所謂半經(jīng)驗(yàn)解法，這種方法是純材料力學(xué)解法和彈性力學(xué)解法的一種折中方法，雖然從數(shù)學(xué)和力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看不夠嚴(yán)密，但是與試驗(yàn)結(jié)果比較相符，因此，這種方法在很多齒輪傳動(dòng)的彎曲強(qiáng)度分析和計(jì)算中受到廣泛采用[111-119]。對(duì)于鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的彎曲強(qiáng)度計(jì)算本文采用邊界元數(shù)值算法。
（1）彎曲強(qiáng)度的三維邊界元方法
邊界元法是從積分方程方法發(fā)展而來(lái)的，是繼有限差分法和有限元法之后的一種新的有效的數(shù)值分析方法。本節(jié)按照邊界積分方程直接法，從三維彈性問(wèn)題基本微分方程和相應(yīng)的邊界條件出發(fā)，建立該三維問(wèn)題的邊界積分方程，然后采用離散插值方案數(shù)值處理技術(shù)，化邊界積分方程為邊界元方程，最后在微機(jī)上對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器嚙合時(shí)的彈性變形進(jìn)行三維邊界元計(jì)算分析。
（2）三維彈性問(wèn)題的邊界積分方程
對(duì)于三維彈性問(wèn)題，若以位移為其本未知量，則其基本微分方程和邊界條件可表示為
式中，Uk——某一方向位移矢量；
Uk,l——位移Uk對(duì)l方向求一階偏導(dǎo)；
Uk,lj——位移Uk對(duì)l和j求二階偏導(dǎo)；
——給定位移邊界SU上位移Ui的已知量；
nj——表面單位法矢分量；
Eijkl——彈性系數(shù)張量；
fi——體積力分量；
——給定面力邊界St上面力ti的已知量。
V——三維域；
X——三維域中任意點(diǎn)的坐標(biāo)列向量。
對(duì)于各向同性彈性體，根據(jù)物理關(guān)系可得彈性方程為
式中，σij——正應(yīng)力；
δij——克羅內(nèi)克定義符，且有
由此，基本方程和邊界條件（5-43）、（5-44）式可寫為
對(duì)于以上三維彈性問(wèn)題的邊值問(wèn)題，采用加權(quán)余量法可導(dǎo)出域內(nèi)位移的積分方程為
式中，
式（5-47）是區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的位移分量Uk（P）和邊界上的表面力分量ti、位移分量Ui之間的關(guān)系，其中Uski和tski分別為線彈性靜力問(wèn)題的基本解和與基本解對(duì)應(yīng)的表面力。然而，我們所感興趣的則是邊界上的位移分量和表面力之間的關(guān)系。Q為域內(nèi)點(diǎn)，當(dāng)源點(diǎn)P出域內(nèi)趨于邊界點(diǎn)時(shí)，可導(dǎo)出邊界積分方程為
式中，Cki（P）是與P點(diǎn)處表面幾何特征有關(guān)的系數(shù)，一般地
對(duì)于三維光滑邊界，系數(shù)Cki（P）為三階方陣，即
（3）三維彈性問(wèn)題邊界積分方程的數(shù)值解法
一般情況下，不可能應(yīng)用解析方法來(lái)解積分方程，而必須采用近似的數(shù)值解法。這里采用邊界元方法，邊界元法將區(qū)域的邊界分割n個(gè)邊界單元，整個(gè)邊界上的積分以n個(gè)邊界單元上的積分和表示，在本文中采用4～8節(jié)點(diǎn)的變節(jié)點(diǎn)等參元，當(dāng)只有四個(gè)角點(diǎn)時(shí)，即為線性元，有8個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)為二次等參元。對(duì)于疏密過(guò)渡區(qū)可采用變節(jié)點(diǎn)單元，以適應(yīng)各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的需要，單元形式如圖5-11所示。
式中，ζia——單元的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的第a(a=1,2)個(gè)局部坐標(biāo)分量。單元內(nèi)任一點(diǎn)的整體坐標(biāo)、位移和面力可分別表示為
此處假定將整個(gè)邊界離散劃分為N個(gè)單元，將（5-52）式代入邊界積分方程（5-48）式，在不考慮體力情況下，可得離散后的邊界積分方程為
在上述n個(gè)邊界單元中，若將n1個(gè)單元的表面力分量和（n-n1）個(gè)單元的位移分量作為邊界條件給出，那么（5-53）式可進(jìn)一步改寫成
對(duì)于邊界上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可建立三個(gè)線性代數(shù)方程，那么，對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)，就可以形成一線性代數(shù)方程組，可以用以下形式表示：
HU=GT （5-54）
式中，H、G——3n×3n階的系數(shù)矩陣，其元素Hij為3×3階矩陣；
U、T——邊界單元節(jié)點(diǎn)的位移分量和表面力分量。
式（5-54）可寫為
將（5-54）式中未知邊界量U、T及相應(yīng)的系數(shù)歸并到方程左邊，已知量
及相應(yīng)的系數(shù)歸并到方程右邊，即可得到如下形式的方程：
Ax=F （5-55）
用高斯消去法求解線性方程組（5-55）式，便可求得所有邊界未知的位移分量U和表面力分量T。
在求出邊界節(jié)點(diǎn)的面力及位移后，由（5-47）式可求出域內(nèi)任一點(diǎn)i處的位移為
其幾何方程為
εij=（Ui,j+Uj,i）/2 （5-57）
物理方程為
將式（5-56）式代入（5-57）式，然后代入（5-58）式，即可得到區(qū)域內(nèi)應(yīng)力分量的表達(dá)式為
式中，
由于邊界面式離散化的，（5-59）式可寫成離散形式
至于邊界點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算，可以利用已經(jīng)求得的邊界單元的節(jié)點(diǎn)位移和面力，求出邊界單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力。
（4）彎曲強(qiáng)度的三維邊界元計(jì)算
基于上述分析，可采用三維邊界元法對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的彎曲應(yīng)力與形變等進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與分析，其內(nèi)外齒輪的三維邊界元計(jì)算模型分別如圖5-12、圖5-13所示。
5.4 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)多齒嚙合分析
鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中，受載之前，即不考慮彈性彎形的情況下，各齒對(duì)間的嚙合狀態(tài)可通過(guò)各齒對(duì)間工作側(cè)的最小間隙角βi進(jìn)行模擬；而受載后各嚙合齒對(duì)將分別產(chǎn)生彈性變形，為了補(bǔ)償輪齒變形后齒廓間可能產(chǎn)生的間隙，使內(nèi)外齒輪仍然保持連續(xù)傳動(dòng)，以繼續(xù)傳遞載荷，主動(dòng)輪輪體必然產(chǎn)生一個(gè)順其自身轉(zhuǎn)動(dòng)方向的變形角ω。當(dāng)載荷增大時(shí)，各嚙合受載齒對(duì)的彈性變形也隨之增大，則變形角ω也必然隨之增加，因此，外載荷與鼓形齒聯(lián)軸器主動(dòng)齒輪的變形角成正比，即變形角的大小反映了外載荷的大小。當(dāng)傳遞的載荷增大到使變形角大到一定程度時(shí)，就可以消除與理論嚙合齒對(duì)相鄰的非理論嚙合齒對(duì)齒廓間的最小間隙，從而，使該非理論嚙合齒對(duì)也承受部分傳動(dòng)載荷而產(chǎn)生相應(yīng)的彈性變形。當(dāng)外載荷繼續(xù)增加，使變形角大到又可消除另外的非理論接觸齒對(duì)齒廓間最小間隙，使該齒對(duì)也參與嚙合，如此下去，就產(chǎn)生了理論接觸和非理論接觸的鼓形齒聯(lián)軸器的多齒嚙合問(wèn)題。
5.4.1 理論嚙合接觸線分析
由（5-10）式和（5-12）式，通過(guò)計(jì)算，可以得到內(nèi)外齒輪嚙合齒面上接觸線坐標(biāo)，由計(jì)算出的坐標(biāo)值即可繪出接觸線圖形。計(jì)算式中對(duì)ψ的要求是：
ψf≤ψ≤ψa
式中，ψa=tanaa，ψf=tanaf；aa、af——內(nèi)齒輪齒頂和齒根壓力角。且
以m=3mm，Z=56，θ=1.5°，xr1=xr2=0，ha*=1，齒寬按需要取到足夠大為例計(jì)算，確定-90°≤φ≤270°區(qū)間的若干條接觸線。由建立的齒面方程可知，φ=0時(shí)，齒面處于純翻轉(zhuǎn)位置。由（5-60）式計(jì)算得aa=12.968°，af=24.866°。
通過(guò)計(jì)算，得到內(nèi)外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)，表5-2給出部分坐標(biāo)值計(jì)算結(jié)果。圖5-16所示的為φ間隔2.5°時(shí)，內(nèi)外齒輪齒面轉(zhuǎn)過(guò)一圈所形成的齒面接觸線。
表5-2 外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)
（m=3mm Z=56 a=20° θ=1.5° xr1=xr2=0 ha*=1）
| φ/（°） |
a1/（°） |
z1/mm |
x1/mm |
φ/（°） |
a1/（°） |
z1/mm |
x1/mm |
| -10.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
80.313
15.406
8.358
5.666
4.252 |
81.305
82.046
83.246
84.653
86.241 |
170.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-80.313
-15.406
-8.358
-5.666
-4.252 |
81.305
82.046
83.246
84.653
86.241 |
| 10.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
3.204
2.863
2.607
2.412
2.263 |
80.924
81.963
83.196
84.616
86.212 |
190.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-3.204
-2.863
-2.607
-2.412
-2.263 |
80.924
81.963
83.196
84.616
86.212 |
| 30.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
2.571
2.501
2.449
2.413
2.392 |
80.911
81.949
83.182
84.602
86.197 |
210.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-2.571
-2.501
-2.449
-2.413
-2.392 |
80.911
81.949
83.182
84.602
86.197 |
| 50.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
2.754
2.746
2.749
2.762
2.785 |
80.899
81.936
83.169
84.588
86.182 |
230.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-2.754
-2.746
-2.749
-2.762
2.785 |
80.899
81.936
83.169
84.588
86.182 |
| 70.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
3.009
3.029
3.058
3.096
3.142 |
80.888
81.925
83.157
84.576
86.170 |
250.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-3.009
-3.029
-3.058
-3.096
-3.142 |
80.888
81.925
83.157
84.576
86.170 |
由圖5-15所示可知，φ在-90°～90°范圍變化時(shí)，從-90°到小于0°的某一角度范圍，內(nèi)外齒輪齒面無(wú)接觸線，此后，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的右外側(cè)從外齒輪齒頂P1和內(nèi)齒輪齒根P2進(jìn)入，逐漸向齒寬中截面位置移動(dòng)，在小于90°的某一角度結(jié)束，接觸線彎曲方向及傾斜方向如圖5-14所示。開(kāi)始進(jìn)入接觸和最后脫離接觸的φ值由齒輪參數(shù)決定，φ在90°～270°范圍變化時(shí)，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的左外側(cè)P2′、P1′嚙入，轉(zhuǎn)角位置與右外側(cè)嚙合對(duì)稱。內(nèi)外齒輪齒面左右兩則的接觸線分別呈以x1、x2坐標(biāo)軸為對(duì)稱的形狀。
5.4.2 多齒嚙合分析
5.4.2.1 多齒嚙合數(shù)學(xué)模型
根據(jù)以上分析，可建立鼓形齒聯(lián)軸器多齒嚙合問(wèn)題數(shù)學(xué)模型如下：
式中，βi為第i對(duì)齒間對(duì)應(yīng)于齒面Ⅰ上點(diǎn)Q1(x1,y1,z1)處的間隙角（如圖5-15所示）；minβi為第i對(duì)齒間的最小間隙角；x1,y1,z1為與外齒輪Ⅰ固連的動(dòng)座標(biāo)系S1下的座標(biāo)；x1c,y1c,z1c為與齒面Ⅰ上一點(diǎn)Q1相對(duì)應(yīng)的齒面Ⅱ上的點(diǎn)Q2的座標(biāo)在座標(biāo)系S1下的變換座標(biāo)；ωj為受載最大齒對(duì)的簡(jiǎn)化集中載荷作用點(diǎn)處的切向彈性變形量，含內(nèi)外齒兩部分；γj為j點(diǎn)所在處的向徑大小；ni為同時(shí)接觸齒對(duì)數(shù)。
5.4.2.2 實(shí)際嚙合齒對(duì)計(jì)算
本節(jié)第一部分在不考慮彈性變形的前提下，基于齒輪傳動(dòng)幾何關(guān)系剛性嚙合原理之上的理論嚙合對(duì)數(shù)，在幾何參數(shù)為表5-3所示情況下，當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)過(guò)360°/Z角度的過(guò)程中，經(jīng)進(jìn)一步分析，其一嚙合區(qū)的理論接觸齒對(duì)在4對(duì)與5對(duì)之間變化，即整個(gè)聯(lián)軸器在傳動(dòng)過(guò)程中，理論接觸齒對(duì)則在8對(duì)與10對(duì)間變動(dòng)。將某齒對(duì)定義為1號(hào)齒對(duì)，且以該齒對(duì)理論上剛開(kāi)始嚙合作為初始狀態(tài)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在鼓形齒聯(lián)軸器轉(zhuǎn)過(guò)7°時(shí)，第5號(hào)齒對(duì)脫離嚙合，當(dāng)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)至360°/Z角度時(shí)，0號(hào)齒對(duì)開(kāi)始進(jìn)入嚙合，這樣便完成一個(gè)周期。
表5-3 鼓形齒聯(lián)軸器幾何參數(shù)
| 參數(shù) |
內(nèi)齒數(shù) |
鼓形外齒輪 |
| 模數(shù)m |
3(mm) |
3(mm) |
| 齒數(shù)Z |
40 |
40 |
| 分度圓壓力角α |
20° |
20° |
| 分度圓直徑d |
120(mm) |
120(mm) |
| 齒頂圓直徑da |
115.2(mm) |
124.8(mm) |
| 齒根圓直徑df |
124.8(mm) |
113.7(mm) |
| 齒寬b |
30mm |
20mm |
| 工作傾角θ |
3° |
在實(shí)際受載輪齒變形后，其接觸齒對(duì)將發(fā)生變化。應(yīng)用三維彈性邊界元法求出鼓形齒聯(lián)軸器在實(shí)際工作受載后，其受載最大輪齒工作齒面上各嚙合點(diǎn)的彈性變形量以及相應(yīng)的變形角，從中并求得簡(jiǎn)化載荷作用處的變形角ωj，其值分別為內(nèi)、外輪齒載荷作用處的變形角之代數(shù)和，即
ωj=ωjⅠ+ωjⅡ （5-62）
其中，外齒輪彈性變形的三維邊界元解答如表5-4所示（內(nèi)齒輪從略）。
表5-4 外齒輪彈性變形的三維邊界元解答（部分）
| 節(jié)點(diǎn) |
彈性變形量(mm) |
變形角（°） |
| NO |
U |
V |
W |
ωj |
| 1 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 2 |
-0.000175380 |
-0.000431121 |
0.000049957 |
0.000426817 |
| 3 |
-0.000374515 |
0.001251580 |
-0.000081436 |
0.001216990 |
| 4 |
-0.000614887 |
-0.003520113 |
-0.000147521 |
0.003363150 |
| 5 |
-0.000281512 |
-0.003161834 |
-0.000107730 |
0.002981080 |
| 6 |
-0.000094073 |
-0.002939400 |
0.000062302 |
0.002735390 |
| 7 |
0.000119509 |
-0.002584201 |
0.000089001 |
0.002374020 |
| 8 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 9 |
-0.000358453 |
-0.001366520 |
-0.000090823 |
0.001328820 |
| 10 |
-0.000295010 |
-0.003325547 |
-0.000120167 |
0.003135420 |
| 11 |
0.000116598 |
-0.002417326 |
0.000087937 |
0.002206900 |
| 12 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 13 |
-0.000200144 |
-0.000447580 |
0.000038178 |
0.000443054 |
| 14 |
-0.000394231 |
-0.001515470 |
-0.000079434 |
0.001473620 |
| 15 |
-0.000714289 |
-0.003701127 |
-0.00114053 |
0.003536080 |
| 16 |
-0.000312970 |
-0.003470020 |
-0.000114053 |
0.003271660 |
| 17 |
0.000110460 |
-0.003095265 |
-0.000010400 |
0.002880380 |
表5-4中節(jié)點(diǎn)編號(hào)詳見(jiàn)5.3節(jié)中邊界元計(jì)算模型。
由此，根據(jù)多齒接觸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（5-61）即可求得鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)360°/Z角度的過(guò)程中，各瞬時(shí)的實(shí)際接觸齒對(duì)情況，其實(shí)際接觸齒對(duì)狀態(tài)列表5-5所示
表5-5 實(shí)際接觸齒對(duì)狀態(tài)表
| 轉(zhuǎn)角φ |
齒對(duì)號(hào) |
| 7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
| 實(shí)際接觸狀態(tài) |
| 48.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 49.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 50.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 51.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 52.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 53.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 54.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 55.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 56.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 57.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
注：“0”——表示理論接觸齒對(duì)；“+”——表示由變形出現(xiàn)的接觸齒對(duì)。
5.5 小結(jié)
本章根據(jù)共軛曲面理論和嚙合原理，創(chuàng)立了共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)理論和研究策略，主要取得了以下成果：
（1）推出了鼓形齒聯(lián)軸器輪齒接觸線及鼓形齒面方程；為后面的嚙合特性分析奠定了基礎(chǔ)；
（2）對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)、接觸強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度等力學(xué)特性進(jìn)行了全面研究。在靜力學(xué)分析中，提出了在彈性狀態(tài)下，齒面載荷均勻分布和齒間載荷按各嚙合齒對(duì)瞬時(shí)綜合剛度正比分配的載荷分配模型，解決了在鼓形齒聯(lián)軸器設(shè)計(jì)、可靠性研究和多齒嚙合分析中的計(jì)算載荷問(wèn)題。在動(dòng)力學(xué)分析中，提出了將鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)這一彈性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)離散化的思想，并求解證實(shí)了共軛鼓形聯(lián)軸器傳動(dòng)的振動(dòng)誘因主要來(lái)源于軸系的觀點(diǎn)，為共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)的減振與防御提供了理論依據(jù)。在強(qiáng)度分析中，對(duì)其接觸與彎曲強(qiáng)度分別采用不同的數(shù)值方法進(jìn)行了對(duì)比研究，得到了一些有意義的結(jié)論，特別是數(shù)值計(jì)算模型和計(jì)算結(jié)果為多齒嚙合分析提供了理論支撐；
（3）提出了理論間隙角的概念，建立了最小間隙角的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并由此求得了共軛鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒距角的過(guò)程中不同時(shí)刻的最小間隙角的分布規(guī)律和理論接觸齒對(duì)數(shù)；
（4）提出了變形角的概念，構(gòu)建了共軛鼓形齒聯(lián)軸器多齒嚙合數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用三維彈性邊界元方法，對(duì)一鼓形齒聯(lián)軸器進(jìn)行了計(jì)算分析，求得了實(shí)際嚙合齒對(duì)數(shù)，并首次得到了該傳動(dòng)裝置的一些有價(jià)值的結(jié)論。這些結(jié)論將對(duì)該傳動(dòng)裝置今后的設(shè)計(jì)思想和設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生較大的影響。
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