5.4 彎扭耦合運動的討論
（1）在純扭轉(zhuǎn)情況下，由于內(nèi)外齒輪的嚙合關系表現(xiàn)為傳動比是恒定的，即
ji/je=1.，雖然這個關系在山內(nèi)進吾[32]、Marmol[34]和KANEMITSU[38]等人的研究中未曾明確指出，但實質(zhì)上上式正是他們所處理的齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)振動問題的出發(fā)點，據(jù)此將扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動分開處理。
（2）在扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動同時發(fā)生時，i與e的關系（參見式（5.11）或式（5.26））不再滿足上述關系。從分析力學的角度出發(fā)，這個關系實質(zhì)上是對系統(tǒng)施加了一完整個約束。這個約束關系將表征齒輪扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角和表征齒輪質(zhì)心橫向運動的位移聯(lián)系了起來，正是這個關系才使得彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動耦合了起來。
（3）從以上推導得的方程式（5.38）可知，軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)不僅在彈性項出現(xiàn)耦合，而且存在慣性耦合。從以上的約束關系不難想象，如果考慮了齒輪聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)內(nèi)阻尼，那么此時阻尼項也一定會出現(xiàn)彎扭耦合的現(xiàn)象。因此這是一典型的動力耦合問題。
（4）耦合不僅出現(xiàn)在所考慮的第j個結點上（包括內(nèi)齒套、外齒輪），而且還影響到j+1個結點上，由于第j+1個結點又與第j+2個結點是耦合的，因此整個系統(tǒng)方程是全耦合的。
（5）雖然質(zhì)量矩陣和剛度矩陣出現(xiàn)耦合，但在整體系統(tǒng)方程中在齒輪嚙合處仍呈現(xiàn)出對稱性，這與平行軸齒輪傳動系統(tǒng)[18]有所不同，在平行軸齒輪傳動系統(tǒng)中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣是非對稱的。彎扭耦合的慣性效應體現(xiàn)在對質(zhì)量陣的修正上，修正項為Jjiz/rb2，設Jjiz=mjiρ2，其中ρ為內(nèi)齒套的回轉(zhuǎn)半徑，一般而言內(nèi)齒套的質(zhì)量比外齒輪的質(zhì)量要大許多，而且內(nèi)齒套的質(zhì)量又主要集中在外圈，因此ρ比rb要大，故Jjiz/rb2比mjk，（k=i,e）大得多，這樣對質(zhì)量陣的修正非常明顯；彈性耦合由于齒對的剛度較大，而軸的扭轉(zhuǎn)剛度相對要小一些，因此對剛度陣的修正相對要小一些。
（6）彎扭耦合后，運動微分方程只在某些情況下可以進行線性分析，例如在滿足βR變化很小等條件，而在一般情況下系統(tǒng)方程則是非線性的，對此將在下一章中進行較深入的討論。如果將其寫成如式（5.38）所示的擬線性形式，則不僅剛度陣是廣義坐標的函數(shù)，而且質(zhì)量陣也是廣義坐標的函數(shù)，這在轉(zhuǎn)子動力學中是比較少見的，因此在討論此類問題時就非常困難。傳統(tǒng)上在進行非線性分析時，往往將式（5.38）寫成“狀態(tài)方程”的形式，由于涉及到質(zhì)量陣的求逆運算以及方程數(shù)目的成倍增加，所以計算工作量是比較大的。
在以往的彎扭耦合振動研究中[16,18,56,101,102,103]，主要集中在以下二個方面：1）由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡而產(chǎn)生的彎扭耦合現(xiàn)象[56,102]。2）具有外齒輪嚙合多平行軸的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中[16,18,101,103]。由于不平衡產(chǎn)生的彎扭耦合可以通過精細的平衡來消除，從理論上來講，平衡轉(zhuǎn)子不存在彎扭耦合。而在具有齒輪嚙合的多平行軸系統(tǒng)中，彎扭耦合是無法消除的，因此齒輪耦合逐漸成為研究的重點。通過上面的推導，可以發(fā)現(xiàn)彎扭耦合在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中同樣存在，而且耦合關系非常復雜，與具有齒輪耦合的多平行軸軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，從結構上來看具有明顯的不同，在多平行軸的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，各轉(zhuǎn)子平行布置一般比較短，扭轉(zhuǎn)剛度大，軸系的扭轉(zhuǎn)固有頻率比彎曲固有頻率大，此時彎曲振動是轉(zhuǎn)子振動的主要形式。但是在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中，系統(tǒng)由多個轉(zhuǎn)子串聯(lián)而成，因此整體系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度成倍降低，軸系的扭轉(zhuǎn)振動問題愈顯突出，文獻[104]指出在過去的二十年中，在國內(nèi)和國外均發(fā)生過由于扭振而出現(xiàn)大型機組被毀事件。這充分說明了這樣一個問題，扭轉(zhuǎn)振動已成為由聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動研究中一個不可缺少的內(nèi)容。因此在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中進行彎扭耦合振動研究具有重要的實用價值。另外由于彎扭耦合作用，可以對以前未被發(fā)現(xiàn)和雖然在實際系統(tǒng)中存在但用傳統(tǒng)理論無法解釋的振動現(xiàn)象進行深入地研究，以便為此類系統(tǒng)的設計和故障診斷提供必要的理論依據(jù)。
5.5 軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運動方程
以上我們建立了半聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動方程，而在實際系統(tǒng)中往往是由二對內(nèi)外齒輪同時嚙合傳動（例如CL和CLZ型齒輪聯(lián)軸器），軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)如圖5.5所示。
以上系統(tǒng)中有兩個半聯(lián)軸器組成，從上一節(jié)的推導中，可以看出在系統(tǒng)中存在二個約束方程，因此系統(tǒng)的自由度數(shù)要減少二個。對于圖5.5所示系統(tǒng)，在結點4和結點5存在齒輪嚙合，因此約束方程為
在式（5.27）和式（5.28）中，由于包含了θj+1（即為圖5.5中的θ5i）。而θ5i又必須要滿足以上的約束關系，所以可以想象在考慮了二個半聯(lián)軸器后，耦合關系更為復雜。但處理的方法是類同的，具體過程在此不再重復了。整個系統(tǒng)有8個結點，共48個自由度。下面僅列出結點4處的運動微分方程。
結點4外齒輪處
結點4內(nèi)齒套處
同理可以寫出結點5內(nèi)外齒輪處的運動微分方程，在此從略。
5.6 小結
本章討論了在聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線出現(xiàn)不對中或產(chǎn)生動態(tài)偏移時，軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運動方程的建立過程，并對彎扭耦合進行了簡單的分析，主要的工作和結論如下：
（1）根據(jù)內(nèi)、外齒輪的齒面方程和不脫齒的嚙合條件，推導了齒輪聯(lián)軸器的約束方程，這一約束方程體現(xiàn)了彎曲（或橫向）位移和扭轉(zhuǎn)擾動角之間的耦合關系。
（2）由拉格朗日方程，在旋轉(zhuǎn)坐標系中建立了半聯(lián)軸器的彎扭耦合運動方程，并闡述了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)方程的建立過程。
（3）彎扭耦合后，系統(tǒng)不僅存在彈性耦合而且存在慣性耦合，但在整體系統(tǒng)的運動微分方程仍然具有對稱性。
（4）建立了CL型齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運動方程，為深入探討具有齒輪聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學行為作了理論準備。
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